Archive for the 'Math' Category

მათემატიკური ლოგიკის ელემენტები-ბულის ალგებრა[Part 1/2]

მასალა აღებულია დილის ენციკლოპედიის XIII ტომიდან.
–>გამონათქვამი
გამონათქვამი არის მათემატიკური ლოგიკის ტერმინი,რომლითაც აღინიშნება მხოლოდ მისი ჭეშმარიტობის თვალსაზრისით განსახილველი წინადადება, ესეიგი , გამონათქვამი არის ისეთი წინადადება, რომლის მიმართაც შეგვიძლია ვთქვათ,ჭეშმარიტია იგი თუ მცდარი.
ასეთ შემთხვევაში, ცხადია, გამონათქვამი არ იქნება კითხვითი ან ძახილის წინადადება, ან ისეთი თხრობითი წინადადება სადაც მთხრობელის განცდებიია წარმოდგენილი:D. წინადადებას რომელიც ცვლადს შეცავს, საგამონათქვამო ფორმა ეწოდება.
მასში ცვლადის ჩასმითმიიღება გამონათქვამი– ან მცდარი ან ჭეშმარიტი…
–>გამონათქვამთა ტიპები
––>გამონათქვამთა უარყოფა(Not)
ყოველი A გამონათქვამისაგან შეიძლება ახალი გამონათქვამის მიღება მისი უარყოფით. მაგალითად ,ვთქვათ, A არის გამონათქვამი ‘მართკუთხედის დიაგონალები ტოლია’, მისი უარყოფის მიღება შეიძლ;ება მრავალი გზით:
1)A გამონათქვამის წინ დასვით სიტყვები ‘არ არი სწორი, რომ’
2)A გამონათქვამში ზმნის წინ დასვით ნაწილაკი ‘არ’. მოცემულ შემთხვევაში A გამონათქვამი ჭეშმარიტია, ხოლო მისი უარყოფა მცდარი. მცდარი გამონათქვამის უარყოფა ჭეშმარიტია. მაშასადამე, მოცემული გამონათქვამის უარყოფა ეწოდება ისეთ გამონათქვამს ,რომელიც ჭეშმარიტია, როცა მოცემული განათვამი მცდარია და მცდარია როცა მოცემული გამონათქვამი ჭეშმარიტია.
A გამონათქვამის უაყოფა აღინიშნება სიმბოლოთი: ¬A და კიდე A–ზედახაზით(სამწუხაროდ აქ ვერ ვწერ :დ). იკითხება:’არა A’, ან ‘არ არის სწორი, რომ A’.
A-სა და ¬A-ს შორის კავშირი შეიძლება გამოვსახოთ შემდეგი ცხრილის სახით:

ვთქვათ, A ნებისმიერი გამონათქვამია. რადგან მისი უარყოფა ასევე, გამონათქვამია, შეიძლება ¬A–ის უარყოფაც. მას ეწოდება A-ს ორმაგი უარყოფა. და აღინიშება A(ორი ხაზით ზევით) საზოგადოდ ეს უკანასკნელი და A ერთიდაიგივეა(ტოლძალოვანია).

––>გამონათქვამთა დიზიუნქცია(Or)
ეს არის ბინარული(ორობითი) ოპერაცია,რომელიც გამონათქვამებზე სრულდება. თუ A და B ნებისმიერი გამონათქვამებია, მაშინ მათი დიზიუნქცია(ლათ.disjuctio გაცალკევება,განსხვავება) ეწოდება ახალ A٧B გამონათქვამს(ნიშანი ٧ დიზიუნქციას აღნიშნავს),
რომლის ჭეშმარიტობაც დამოკიდებულია A და B გამონათქვამის ჭეშმარიტობაზე. ეს დამოკიდებულება დიზიუნქციისთვის გამოიხატება ამ ცხრილით:

მაშასადამე, დიზიუნქცია მცდარია იმ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როცა მცდარია ორივე გამონათქვამი. ანუ თუ ერთ ერთი წევრი მაინც ჭეშმარიტია ესეიგი დიზიუნქცია ჭეშმარიტია. დიზიუნქცია ხასიათდბა შემდეგი თვისებებით:
A٧B=B٧A
(A٧B)٧C=A٧(B٧C)
A٧(¬A)=ჭ (ჭეშმარიტი). დიზიუნქცია აღმოცენდა , როგორც ‘ან’ კავშირის ფორმალიზაცია და ანალოგი იმ განსხვავებით, რომ ენაში ‘ან’ კავშირი მაცალკევებელია მათემატიკაში/ინფორმატიკაში–არა.

–>გამონათქვამთა კონიუნქცია(and)
ესაც არის ბინარული ოპერაცია, რომელიც სრულდება გამონათქვამებზე. თუ A და B ნებისმიერი გამონათქვამებია,მაშინ ახალ A^B გამონათქვამს(ნიშანი ^ კონიუნქციას აღნიშნვს) მათი კონიუნქცია ეწოდება,რომლის ჭეშმარიტობა დამოკიდებულია A და B–ს ჭეშმარიტობაზე.
ეს დამოკიდებულება კონიუნქციისთვის გამოიხატება ასეთი ცხრილით:

მაშასადამე,კონიუნქცია ჭეშმარიტია იმ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში ,როცა ჭეშმარიტია მისი შემადგენელი ორივე წევრი. ე.ი. თუ კონიუნქცია მცდარია მაშინ იგი შეიცავს ერთ მცდარ წევრს მაინც.
კონიუნქცია ხასიათდება შემდეგი თვისებებით:
A^B=B^A (კომუტატიურობა)
(A^B)^C=A^(B^C) (ასოციაციურობა)
A^(¬A)=მ (მცდარი).
ჭეშმარიტობის ცხრილის დახმარებით ადვილად შეიძლება დავრწმუნდეთ,აგრეთვე,კონიუნქციის შემდეგ თვისებებში:
(A٧B)^C=(A^C)٧(B^C)
(A^B)٧C=(A٧C)^(B٧C)
პირველი ტოლობას ეწოდება კონიუნქციის დისტრიბუტოლობის თვისება დიზიუნქციის მიმართ,ხოლო მეორეს–დიზიუნქციის დისტრიბუტოლობის კანონი კონიუნქციის მიმართ. ძნელი აღარ არის შემდეგ ტოლობათა დამტკიცება:
¬(A^B)=¬A٧¬B
¬(A٧B)=¬A^¬B
რომელთაც შოტლანდიელი მათემატიკოსის დე მორგანის სახელი ჰქვია.
კონიუნქცია აღმოცენდა,როგორც ‘და’ კავშირის ფორმალიზაცია და ანალოგი.
––>გამონათქვამთა იმპლიკაცია
ესაც არის ორობითი ოპერაცია, რომელიც სრულდება გამონათქვამებზე. თუ A და B ნებისმიერი გამონათქვამებია, მაშინ მათი იმპლიკაცია ეწოდება ახალ A=>B გამონათქვამს (ნიშანი => აქ იმპლიკაციას აღნიშნავს), რომლის ჭეშმარიტობაც დამოკიდებულია A და B გამონათქვამების ჭეშმარიტობაზე.
ეს დამოკიდებულება იმპლიკაციისთვის გამოიხატება შემდეგი ცხრილით,რომელშიც ჭეშმარიტობა აღნიშნულია ჭ ასოთი ხოლო მცდარობა მ ასოთი.

მაშასადამე, იმპლიკაცია მცდარია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როცა A–ჭეშმარიტია და B-მცდარი. ყველა სხვა შემთხვევაში იმპლიკაცია ჭეშმარიტია.
იმპლიკაცია აღმოცენდა ,გამონათქვამის – ‘თუ A,მაშინ B’ ანუ უფრო გასაგებად:’A-დან გამომდინარეობს B’-ს ფორმალიზაცია და ანალოგი. ამასთან, ცხადია, რომ A და B გამონათქვამების როლი იმპლიკაციაში სხვადასხვაა. A-ს ჰქვია პირობა,ანუ ანტეცედენტი, ხოლო B-ს – დასკვნა ანუ კონსეკვენტი.
––>გამონათქვამთა ეკვივალენცია(nxor)
ბინარული ოპერაცია,რომელიც გამონათქვამებზე სრულდება. თუ A და B ნებისმიერი გამონათქვამებია, მაშინ მათი ეკვივალენცია ეწოდება ახალ A<=>B გამონათქვამს (ნიშანი <=> ეკვივალენციას აღნიშნავს), რომლის ჭეშმარიტობა დამოკიდებულია A და B–ს ჭეშმარიტობაზე.
ეს დამოკიდებულება კონიუნქციისთვის გამოიხატება ასეთი ცხრილით,რომელშიც ჭეშმარიტობა აღნიშნულია ჭ ასოთი ხოლო მცდარობა მ ასოთი.:

მაშასადამე,ეკვივალენცია ჭეშმარიტია მხოლოდ მაშინ,როცა A–სა და B–ს ერთნაირი მნიშვნელობა აქვს. სხვა შემთხვევაში იგი მცდარია.
ეკვივალენცია აღმოცენდა, როგორც გამონათქვამის ‘მაშინ და მხოლოდ მაშინ’–ის ფორმალიზაცია და ანალოგი.

Advertisements

დიდი რიცხვების სახელწოდებები

პირველ სიახლეს ძალიან უცნაური პოსტით დავიწყებ :D

ნუ საინტერესოა მემგონი

^–ეს ნისნავს ხარისხს.

10^3<->ათასი
10^6<->მილიონი
10^9<->მილიარდი/ბილიონი
10^12<->ტრილიონი
10^15<->კვადრილიონი
10^18<->კვინტილიონი
10^21<->სექსტილიონი
10^24<->სეპტილიონი
10^27<->ოქტილიონი
10^30<->ნონილიონი
10^33<->დეცილიონი
10^36<->უნდეცილიონი
10^39<->დეოდეცილიონი
10^42<->ტრედეცილიონი
10^45<->კვატტუოპდეცილიონი
10^48<->კვინდეცილიონი
10^51<->სედეცილიონი
10^54<->სეპტდეცილიონი
10^57<->დუოდევიგინტილიონი
10^60<->უნდევიგინტილიონი
10^63<->ვიგინტილიონი


სტატისტიკა:

  • 30,068 hits

free counters

აბირჟავებენ

Advertisements